【山东成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数与微分)

微分知识点睛(导数与微分)

知识结构：

必备基础知识

★ 导数的定义（增量比值的极限）

（也可记为, 或. ）

★ 可导性与连续性的关系

可导连续有极限

注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.

★ 导数的几何意义

函数在点x₀处的导数在几何上表示曲线在点M(x₀, f(x₀))处的切线的斜率. 

切线方程为：

法线方程为：

★ 导数公式（必须牢记）

(1)  (C)¢=0,                        (2)  (x^m)¢=m x^m-1,

(3)  (sin x)¢=cos x,                (4)  (cos x)¢=-sin x,

(5)  (tan x)¢=sec²x,                 (6)  (cot x)¢=-csc²x,

(7)  (sec x)¢=sec x×tan x,           (8)  (csc x)¢=-csc x×cot x,

(9)  (a ^x)¢=a ^x ln a,                 （10）(e ^x)¢=e^x,

(11) ,                  (12) ,

(13) ,               (14) . 

(15) ,                (16) .

★ 函数的和、差、积、商的求导法则

★ 复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）

定理3  若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为

或                  

★ 隐函数的导数（牢记是的函数）

如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)。

步骤：（1）方程两边同时对x求导（注意是的函数）

（2）解出

★ 对数求导法：

先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数.

★ 高阶导数（从低阶到高阶逐阶求导）

y¢¢=(y¢)¢, f ¢¢(x)=[f ¢(x)]¢ , .

★ 微分

1) 微分的定义

定义  设函数在某区间内有定义, 及在这区间内, 如果函数的增量可表示为：

其中A是与无关的常数, 则称函数在点可微, 并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分, 记作, 即

2) 函数可微的条件

定理 : 函数在点可微的充要条件是：

在点处可导,且即。

主要考察知识点和典型例题：

考点一：导数的概念

典型例题： 设存在, 求极限

解：

【注】 这种题目一般只出填空或选择，我们可以按以下方法解题：这种题目的结果均为：，其中等于分子中的个数除以分母中的个数。

考点二：导数的几何意义

切线方程为：

法线方程为：

典型例题： 求曲线在点处的切线方程.

解  因为  

故所求切线方程为 即

典型例题：已知在处的切线平行于直线，则=_______。

解  先求在处的切线的斜率：，所以。

由于切线平行于直线，而已知平行直线的斜率，

所以斜率相等，即：，。

考点三：函数和、差、积、商的求导法则

的和、差、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,

典型例题： , 求f ¢(x)及. 

解: ,  

.