【山东成考专升本】数学1--微分知识点睛（导数的应用）

知识结构：

必备基础知识

★型与型未定式

型:      

型：     

★ 函数的单调性的判别定理

设函数在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.

(1) 若在(a, b)内, 则函数在[a, b]上单调增加;

(2) 若在(a, b)内, 则函数在[a, b]上单调减少.

★ 极值定义  

设函数f(x)在区间(a, b)内有定义, x₀Î(a, b). 如果在x₀的某一去心邻域内有f(x)<f(x₀), 则称f(x₀)是函数 f(x)的一个极大值; 如果在x₀的某一去心邻域内有f(x)>f(x₀), 则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 

★ 最值定义  

设函数f(x)在区间上有定义，对，如果在恒有f(x)<f(x₀), 则称f(x₀)是函数 f(x)的一个最大值; 如果在在恒有f(x)>f(x₀), 则称f(x₀)是函数f(x)的一个最小值.

★ 凹凸性的定义

设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x ₁, x ₂, 恒有

, 

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有

, 

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 

主要考察知识点和典型例题：

考点一：运用洛必达法则求极限：

洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法，主要用来求解或的未定式的极限，以及可以转化为或的未定式0×¥ 、¥-¥的极限。近年考察较为简单，主要是考查：直接用洛必达法则或的未定式的极限。

要求：

（1）拿到一个极限题首先就要代入，看是不是未定式，是那种类型的未定式。

（2）如果是未定式，则可以考虑洛必达法则

典型例题：求

解  

往年真题：求 .

解  

【注】

（1）有时一次洛必达法则不能得到极限值，而是得到一个未定式，则可以用多次。

（2）对于型，可利用通分化为型的未定式来计算.

（3）对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算.

（4）洛必达法则可以和其他求极限方法，尤其是等价代换，混合在一起来用。

典型例题： 求

解  当时, 故

考点二：函数单调性的判别（单调区间和驻点）

函数的单调性是一种非常重要的特性，利用导数判别单调性是一种快捷有效的手段，本部分内容主要考查：求函数的单调区间以及函数的驻点、利用单调性证明不等式。

1、求函数的单调区间以及函数的驻点

步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求单调增加和单调减少的可能的分界点：导数为零的点（驻点）和导数不存在的点，即：的点和不存在的点。

（3）利用上述点去划分定义域，然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号，从而确定函数的单调性。

要求：

（1）理解单调性、单调区间和驻点的概念；

（2）掌握判别单调性的方法——一阶导数法。

典型例题：确定函数的单调区间.

解  

（1）

（2）

ⅰ: 驻点；ⅱ不存在的点，没有。

（3）

函数在上单调增加；上单调减少；在上单调增加；单调区间为

往年真题：函数的单调增加区间是____________.

解  因为：，要想使单调增加，需使:

>0，即：，所以函数的单调增加区间是

【注】（1）可能的分界点包括驻点和不可导点。  

2、利用单调性证明不等式

思路：见到不等式的证明题，一般就是和单调性有关，其关键是构造一个函数，证明其在某个区间上单调增或单调减即可。

典型例题：当时， 试证成立.

证  设则

在上连续，且在内可导，  在上单调增加，

 当时，即证毕.