【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

考点三：函数的极值——重点

函数的极值包括极大值和极小值，是一个局部概念，一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法：第一充分条件—— 一阶导数法和第二充分条件—— 二阶导数法。主要考查：求函数的极值点和极值。

1、第一充分条件—— 一阶导数法步骤

(1) 确定函数的定义域;

(2) 求可能的极值点：求其导数，解方程求出的全部驻点与不可导点;

(3) 讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;

(4) 求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.

典型例题：求出函数的极值.

解 

（1）

（2）,令得驻点

（3）列表讨论如下：

（4）所以, 极大值极小值

【注】

（1）函数可能的极值点为驻点和不可导点（或不存在的点）。

（2）一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值，其步骤和判别单调性相似。

2、第二种充分条件——二阶导数法

第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值，可利用函数的凸凹性记忆。

设函数f(x)在点x₀处具有二阶导数且f ¢(x₀)=0, f ¢¢(x₀)¹0, 那么

(1) 当f ¢¢(x₀)<0时, 函数f(x)在x₀处取得极大值; 

(2) 当f ¢¢(x₀)>0时, 函数f(x)在x₀处取得极小值; 

典型例题：求出函数的极值.

解  

令得驻点

又故极大值

故极小值

【注】时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.

 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.

考点四：函数的最大值和最小值（重点）

函数的最值是常考的知识点，主要包括：函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。

1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法: 

计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；

（函数的最大值在极值点和端点取得）

典型例题：求在上的最大值与最小值.

解    解方程得

计算 

比较得最大值 最小值

2、实际问题中的最值问题

典型例题：设抛物线与轴的交点为，在他们所围成的平面区域内，以线段为下底做内接等腰梯形，设梯形的上底长为，面积为。

a)写出的表达式；

b)求的最大值。

解：

（1）先求交点，由，解得，所以交点的坐标分别为，，，所以：

（2），得到或（舍去）；

由所给问题得实际意义知： 时，达到最大，最大值。

考点五：曲线的凹凸性的判别（凹凸区间和拐点）

确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: 

(1) 求函数的二阶导数；

(2) 令，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.

典型例题：求曲线y=3x ⁴-4x ³+1的拐点及凹、凸的区间. 

解: 

(1)函数y=3x ⁴-4x ³+1的定义域为(-¥, +¥); 

(2),; 

(3)解方程y¢¢=0, 得, ; 

(4)列表判断: 

在区间(-¥, 0]和[2/3, +¥)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 

往年真题：曲线的拐点坐标为_______。

解：，，

令y¢¢=0, 得.

因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以点(0,－1)是曲线的拐点.

考点六：求曲线的渐近线（作为了解即可）

在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。

1、水平渐近线：

若 ，则直线为水平渐近线

例：

铅直渐近线：（其实就是分母为零而分子不为零的点）

若 ，则直线为铅直渐近线

例、求 渐近线

解：∵        ∴ 为水平渐近线

∵        ∴ 垂直渐近线。（时分母为零而分子不为零）

例  求函数的渐近线.

解   得水平渐近线

 得铅直渐近线（时分母为零而分子不为零）