【山东成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛（不定积分）

一元函数积分学知识点睛（不定积分）

知识结构：

必备基础知识

★ 原函数是定义不定积分的基础概念，要理解原函数的概念，搞清楚原函数和导数的关系。F ¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 

那么函数F(x) 就称为f(x) (或f(x)dx) 在区间I上的一个原函数.  

★ 掌握不定积分的概念，理解不定积分就是所有的原函数，求不定积分就是求所有的原函数。即：

. 

★ 理解微分和积分的关系    ，   

★ 熟练掌握基本积分表，尤其注意第二和第三个公式，往年的试题中有直接考查积分公式的题目。

(1)(k是常数),           (2), 

(3),                 (4), 

(5),                 (6), 

(7),              (8), 

(9),    (10), 

(11),          (12), 

(13),         

★ 掌握不定积分的性质

性质1  函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即

. 

性质2  求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即:        (k是常数, k ¹0). 

★ 分部积分法原则

分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.

★ 的确定原则

从上面例子可以看出，的确定是进行分部积分的关键，一般情况下有以下法则：

反对幂三指，前为后为；

与结合变为

主要考察知识点和典型例题：

考点一：原函数和不定积分概念题

近年主要考查：已知一个函数的原函数求函数或其导数；基本积分公式等内容。

典型例题 已知是的一个原函数，则＝__________。

解：∵ 是的一个原函数，即：

∴

典型例题：       

考点二：不定积分的直接积分法：就是利用不定积分的基本性质和基本积分表来计算简单函数的不定积分。

要求：在熟练掌握不定积分的性质和基本积分表的基础上，灵活运用各种方法解决简单函数的不定积分问题。

典型例题：____________________。

解：

往年真题：(  B   )

A．  

B．  

C．  

D．

解：，故选B。

考点三：换元积分法

换元法是算不定积分的一种非常重要的方法，包括第一和第二两种换元方法，其中第一换元法是考察的重点。

1、第一换元法（凑微分法）（重点）

第一换元法是计包括直接凑和间接凑两种方法。

（1）、直接凑

要求不定积分，首先考虑能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中没有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接凑。

特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式

典型例题：求不定积分（和比较接近）

解：

往年真题：计算（凑公式）

解：

【注】 积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的，所以做题时要凑成一致的。

（2）、间接凑

间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分，变形，可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分，再凑公式。

特点：被积函数中含有导数关系。

典型例题：（的导数是）

解：

.

往年真题：计算

解：

2、第二类换元法

第二换元法的主要目的是为了去掉被积函数中的根号，常用的方法有根式换元和三角换元。

（1）、根式换元（重点）

特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁。

典型例题： 求.  （含有根号，基本公式中没有相同或相近的）

解 设, 即（根号被去掉）, 则

.  

（2）、三角换元（方法较难，一般不考，主要作为了解）

特点：被积函数中含 根式换元不能去掉根号。

结论：三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有

a)   可令

b)  可令

典型例题： 求(a>0). 

解: 设x=a sin t , , 那么, 

dx =a cos t d t , 于是

. 

因为, , 所以

. 

考点四：分部积分法

分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分，当被积函数是两个函数的乘积，而又没有导数关系时，考虑分部积分法。

典型例题：计算不定积分

解  令

典型例题：

. 

【注】 （1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。

（2）有时通过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.

（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。

考点五：简单有理函数（先分项，再积分）

求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分.

典型例题  计算 .

解 先分项：∵ 

∴ 设 ，

即：

∴

∴

再积分：