【山东专升本】数学1--一元函数积分学知识点睛（定积分的应用）

一元函数积分学知识点睛（定积分的应用）

知识结构：

必备基础知识

★平面图形的分类

①上下结构：平面图形由上下两条曲线y=f_上(x)与y=f_下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成

特点：（1）平面图形上下是两条曲线y=f_上(x)和y=f_下(x)，左右是两条直线

x=a与x=b；

（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是

y=f_下(x)，出来区域交的是y=f_上(x)

②左右结构：平面图形由左右两条曲线x=j_左(y)与x=j_右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。

特点：（1）平面图形左右是两条曲线x=j_左(y)和x=j_右(y)，上下是两条直线

y=d与y=c；

（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是

x=j_左(y)，出来区域交的是x=j_右(y)。

★旋转体的概念

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．

旋转体都可以看作是由连续曲线、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.

主要考察知识点和典型例题：

考点一：平面图形的面积计算

①上下结构的平面图形的面积：

：y=f_上(x)、y=f_下(x)、x=a、x=b

.

法则：被积函数上减下，积分区间看左右。

步骤(1)画图；

(2)确定在x轴上的投影区间：；

(3)确定上下曲线：；

(4)计算积分：。

典型例题计算抛物线、所围成的图形的面积。

解(1)画图.

(2)确定在x轴上的投影区间:[0,1].

(3)确定上下曲线:  

.

(4)计算积分

②左右结构的平面图形的面积：

：x=j_左(y)、x=j_右(y)、y=d、y=c。

.

法则：被积函数右减左，积分区间看上下。

步骤(1)画图；

(2)确定在y轴上的投影区间：；

(3)确定左右曲线：x=j_左(y)、x=j_右(y)；

(4)计算积分：。

典型例题计算抛物线y²=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.

解(1)画图；

(2)确定在y轴上的投影区间：[-2,4]；

(3)确定左右曲线：

；

(4)计算积分：

。