【山东成考】专升本数学1---常微分方程

常微分方程

知识结构：

必备基础知识

微分方程

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。常微分方程的一般形式是：

其中为自变量，是未知函数.

★ 微分方程的阶

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. 

★ 微分方程的解

在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解.

★ 微分方程的特解、通解

微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）.

★ 可分离变量的微分方程概念

设有一阶微分方程,如果其右端函数能分解成，即有，则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中都是连续函数.

★ 一阶线性微分方程的概念

（1）形如             （1）

的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. （一阶是指方程中导数的最高阶是一阶，线性是指和的次数都是一次）

（2）当方程（1）成为

        （2）

这个方程称为对应于非齐次线性方程的一阶齐次线性方程. 相应地，方程（1）称为一阶非齐次线性方程.

★ 二阶常系数齐次线性微分方程的概念

方程                （**）

称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 

★ 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构

如果与是方程(**)的两个线性无关的特解，则

就是方程(**)的通解，其中是任意常数.

★ 二阶常系数齐次线性微分方程特征方程（就是把换成，换成，换成得到的方程）

方程r²+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.

特征方程的两个根r₁、r₂可用公式

求出.

★ 二阶常系数非齐次线性微分方程的概念

二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程

                （*）

称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数. 

★ 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构（非齐次的通解＝齐次的通解＋非齐次的特解）

定理  设是方程(*)的一个特解，而是其对应的齐次方程(**)的通解，则

就是二阶非齐次线性微分方程(*)的通解.

主要考察知识点和典型例题：

考点一：可分离变量的微分方程的解法

第一步  分离变量, 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式；

第二步  两端积分:, 设积分后得G(y)=F(x)+C；

第三步  求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=F(x)或x=Y(y)

G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解。

典型例题 求微分方程的通解.

解  

(1)分离变量得

(2)两端积分得         

(3)从而,记则得到题设方程的通解 

往年真题：微分方程的通解为______________。

解：分离变量：

两边积分：，

所以：

考点二： 一阶线性微分方程

1、齐次线性方程的解法

齐次线性方程是变量可分离方程. 分离变量后得

, 

两边积分, 得, 

或, 

这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 

2、 非齐次线性方程的解法

非齐次线性方程的通解为：

, 

或. 

注：非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 

典型例题  求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

解  将方程标准化为于是

由初始条件得  故所求特解为

往年真题：求的通解

解   于是所求通解为

考点三： 二阶常系数齐次线性微分方程的通解

求解步骤

求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为: 

第一步  写出微分方程的特征方程：r²+pr+q=0

第二步  求出特征方程的两个根r₁、r₂. 

第三步  根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 

典型例题 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解. 

解 所给微分方程的特征方程为

r²-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 

其根r₁=-1, r₂=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为

y=C₁e^-x+C₂e^3x. 

往年真题：求方程的通解.

解 所给微分方程的特征方程为

其根是两个不相等的实根，

因此所求通解为

考点四、 二阶常系数非齐次线性微分方程

——f(x)=P_m(x)e^lx 型

特解得确定方法：

当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如

          (8.4)

的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

典型例题 求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe^2x的通解. 

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)是P_m(x)e^lx型(其中P_m(x)=x, l=2). 

（1）与所给方程对应的齐次方程为：y¢¢-5y¢+6y=0, 

它的特征方程为：r²-5r +6=0. 

特征方程有两个实根r₁=2, r₂=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

 Y=C₁e^2x+C₂e^3x . 

（2）由于l=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为

y*=x(b₀x+b₁)e^2x. 

把它代入所给方程, 得

-2b₀x+2b₀-b₁=x. 

比较两端x同次幂的系数, 得

 , 

由此求得, b₁=-1. 于是求得所给方程的一个特解为

. 

（3）从而所给方程的通解为

.